Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

d ) lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x t a n ⁡ ( 1 - x )  

Passo 1

Ooieee, tudo certinho por aí?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x tan ⁡ 1 - x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, antes de tudo, vamos transformar essa expressão do limite em uma fração.

Temos:

lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x tan ⁡ 1 - x = lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x 1 tan ⁡ 1 - x

Ótimo. Vamos substituir o valor que x está tendendo para verificar se esse limite satisfaz às condições da regra de L’Hospital.

Ficamos com:

lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x 1 tan ⁡ 1 - x = log ⁡ 1 - 1 1 tan ⁡ 1 - 1

= log ⁡ 0 1 tan ⁡ 0 →   - ∞ - ∞  

Opaaa! Excelente, encontramos ∞ / ∞ , logo podemos aplicar L’Hospital!

Passo 3

Começando pela derivada do numerador, temos:

log ⁡ 1 - x ' = 1 1 - x ⋅ ( - 1 )

Já para a derivada do denominador, temos:

1 tan ⁡ 1 - x ' = c o s s e c 2 1 - x ⋅ ( - 1 )

Voltando para o limite, temos:

lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x 1 tan ⁡ 1 - x = lim x → 1 - ⁡ 1 1 - x c o s s e c 2 1 - x

= lim x → 1 - ⁡ s e n 2 1 - x 1 - x

Se substituirmos x = 1 dentro do limite, veremos que ainda estamos com uma indeterminação (agora 0 / 0 ). Por isso, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez:

s e n 2 1 - x ' = 2 s e n 1 - x ⋅ cos ⁡ 1 - x ⋅ ( - 1 )

Já para o denominador:

1 - x ' = - 1

Daí, voltando para o limite, temos:

lim x → 1 - ⁡ 2 s e n 1 - x ⋅ cos ⁡ 1 - x ⋅ ( - 1 ) - 1

= lim x → 1 - ⁡ 2 s e n 1 - x cos ⁡ 1 - x

= 2 s e n 1 - 1 c o s ⁡ ( 1 - 1 )

Logo:

lim x → 1 - ⁡ log ⁡ 1 - x tan ⁡ 1 - x = 0

Perfeitoo!

Tamo junto galera, até a próxima 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2