Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

c ) lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo na tranquilidade?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos começar identificando o valor que esse limite tende quando substituímos x → ∞ dentro dele.

lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3

O numerador tende ao infinito quando x → ∞ . Do mesmo modo, x 3 → ∞ .

Ou seja, temos algo do tipo:

lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3 → ∞ ∞

Portanto, podemos usar a regra de L’Hospital.

Para isso, vamos calcular a derivada do numerador e do denominador.

Começando pelo numerador, temos:

log ⁡ x ' = 1 x

Já para o denominador:

x 3 ' = 3 x 2

Voltando para o limite, vem que:

lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3 = lim x → + ∞ ⁡ 1 | x | 3 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 1 3 x 3

Como o numerador é constante, e o denominador tende para o infinito, esse limite deve ser nulo.

Logo:

lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x x 3 = 0

Excelente! Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)