Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

e ) lim x → 0 + ⁡ x 2 2 + log ⁡ x

Passo 1

E aí gente, tudo beleza?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 + ⁡ x 2 2 + log ⁡ x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ x 2 2 + log ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 2 2 + log ⁡ x

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x 2 2 + log ⁡ x

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ 2 2 + log ⁡ x ⋅ ln ⁡ x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + log ⁡ x

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + log ⁡ x

Mas, nesse caso:

log ⁡ x = ln ⁡ x

Então:

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + l n ⁡ x

Vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se cairemos em um dos casos da regra de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + ln ⁡ x → - ∞ - ∞

Opaaa, temos um caso ∞ / ∞ , vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada do numerador:

2 ⋅ ln ⁡ x ' = 2 ⋅ 1 x

Já para o denominador, temos:

2 + ln ⁡ x ' = 1 x

Voltando para o limite, vem:

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ 1 x 1 x

= 2

Excelente! Encontramos que:

lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + ln ⁡ x = 2

Daí, voltando para L , temos:

L = e lim x → 0 ⁡ 2 ln ⁡ x 2 + log ⁡ x

∴ L = e 2

Excelente!! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

e 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)