Calcule os limites abaixo usando as regras de L’Hospital.

(a) lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x - tan ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando as regras de L’Hospital. Lembra delas?

Essas regrinhas nos salvam em diversos casos, porque podemos aplicar L’Hospital sempre que nos deparamos com um indeterminação dos tipos ∞ ∞ , 0 0 , 0 ∙ ∞ , ∞ - ∞ , 1 ∞ e 0 0 .

No caso do quociente, a regra de L’Hospital vai nos permitir derivar a função no numerador e a função no denominador separadamente, e calcular o nosso limite em uma expressão mais simples. Quando caímos em outros casos, vamos tentar escrever nossa função como um quociente e aplicar a mesma regra, se necessário. É isso que nós vamos fazer nesse caso.

Vamos lá!

Passo 2

Nós precisamos calcular:

lim x → π 2 - ⁡ sec ⁡ x - tan ⁡ x

Repare que em x = π 2 , nossa função não tá definida. Então, vamos tentar modificar ela um pouco usando as identidades trigonométricas sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x e tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x :

lim x → π 2 - ⁡ 1 cos ⁡ x - sin ⁡ x cos ⁡ x

Colocando tudo no mesmo denominador, tirando o M.M.C:

lim x → π 2 - ⁡ 1 - sin ⁡ x cos ⁡ x

Agora podemos aplicar a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo separadamente:

lim x → π 2 - ⁡ 0 - cos ⁡ x - sin ⁡ x = lim x → π 2 - ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x

Mas cos ⁡ x sin ⁡ x = cot ⁡ x , assim temos:

lim x → π 2 - ⁡ cot ⁡ x

Aplicando o limite agora:

cot ⁡ π 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)