Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

b ) lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 tan ⁡ x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 tan ⁡ x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Para tentarmos usar a regra de L’Hospital, vamos transformar isso em uma única fração:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 tan ⁡ x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x ⋅ tan ⁡ x

Quando x → 0 , a tan ⁡ x tende a 0 também.

Logo, temos um limite do tipo:

0 / 0

E, podemos usar a regra de L’Hospital.

Assim, temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x ⋅ tan ⁡ x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x ' ( x ⋅ tan ⁡ x ) '

Lembrando que a derivada da tangente vale:

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

Logo, para o numerador temos:

tan ⁡ x - x ' = sec 2 ⁡ x - 1

E, a derivada do numerador, vale:

x ⋅ tan ⁡ x = 1 ⋅ tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x

Daí, voltando para o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x ' x ⋅ tan ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 1 ⋅ tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x

Quando x → 0 , a sec 2 ⁡ x → 1 . Logo, o numerador vai para:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 = 0

Já para o denominador, a tan ⁡ x tende a 0 quando x tende a 0 . Assim:

lim x → 0 ⁡ ( tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x ) = 0

Portanto, o nosso limite continua do tipo 0 / 0 e precisamos aplicar L’Hospital mais uma vez.

Passo 3

Vamos aplicar L’Hospital no limite:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 1 ⋅ tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x

Para isso, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador. Temos:

sec 2 ⁡ x - 1 ' = 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

Já no denominador, teremos que aplicar a regra do produto no segundo termo, ou seja:

x ⋅ sec 2 ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

Daí, vamos ter:

tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x + 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

= sec 2 ⁡ x ( 1 + 2 tan ⁡ x )

Daí, voltando para o L’Hospital, temos:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 ' tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ 2 sec 2 ⁡ x ⋅ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x ⋅ 1 + 2 tan ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 2 tan ⁡ x 1 + 2 tan ⁡ x

Agora sim...Quando x → 0 , como já vimos:

tan ⁡ x → 0

Daí, substituindo, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ 2 tan ⁡ x 1 + 2 tan ⁡ x = 2 ⋅ 0 1 + 2 ⋅ 0

= 0 1 = 0

Portanto:

lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 tan ⁡ x = 0

Prontinho pessoal!

Obrigado pela atenção e até aproxima 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)