Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

e ) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - s e n   x

Passo 1

Fala aí genteee!

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - s e n   x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, substituindo o valor que x está tendendo dentro do limite vamos ter:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - s e n   x = 0 - 0 0 - 0

Oopa, temos algo do tipo 0 / 0 . Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Começando pelo numerador:

tan ⁡ x - x ' = sec 2 ⁡ x - 1

Derivando o denominador:

x - s e n   x ' = 1 - cos ⁡ x

Daí, voltando para o limite temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - s e n   x = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x

Substituindo o número que x está tendendo, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Puts, 0 / 0 mais uma vez. Então, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez...

Derivando o numerador, vem que:

sec 2 ⁡ x - 1 ' = 2 ⋅ sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x

Derivando agora o denominador, vem:

1 - cos ⁡ x ' = s e n   x

Daí, voltando para o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x s e n   x

Se usarmos que:

tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x

E, que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Vem que:

lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x s e n   x = lim x → 0 ⁡ 2 ⋅ 1 cos ⁡ x ⋅ s e n   x cos ⁡ x s e n x

= lim x → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ x

Daí, substituindo o valor que x está tendendo, chegamos que:

lim x → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ x = 2 cos 2 ⁡ 0

= 2

Aeeee! Conseguimos pessoal!

Obrigado pela atenção e até a próxima!

Resposta

2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)