Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

b ) lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x 1 log ⁡ ( s e n   x )

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x 1 log ⁡ ( s e n   x )

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x 1 log ⁡ ( s e n   x ) = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ tan ⁡ x 1 log ⁡ ( s e n   x )

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ tan ⁡ x 1 log ⁡ ( s e n   x )

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ 1 l o g ⁡ ( s e n   x ) ⋅ ln ⁡ tan ⁡ x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x l o g ⁡ ( s e n   x )

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x log ⁡ s e n   x

Onde o log ⁡ ( s e n   x ) é o próprio l n .

Daí:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x l n ⁡ s e n   x

Vamos então substituir o valor que x assume dentro do nosso limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x ln ⁡ s e n   x = ln ⁡ 0 ln ⁡ 0

→   - ∞ - ∞

Opaaa! Caímos na regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.

Começando pelo numerador:

ln ⁡ tan ⁡ x ' = 1 tan ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

= cos ⁡ x s e n   x ⋅ 1 cos 2 ⁡ x

= 1 s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Beleza!

Derivando agora o denominador, temos:

ln ⁡ s e n   x ' = 1 s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Daí, substituindo no limite, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x ln ⁡ s e n   x = lim x → 0 ⁡ 1 s e n   x ⋅ cos ⁡ x cos ⁡ x s e n   x

= lim x → 0 ⁡ 1 cos 2 ⁡ x

Daí, substituindo x = 0 , temos:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x ln ⁡ s e n   x = 1 cos 2 ⁡ 0 = 1

Excelente! Podemos agora voltar para a nossa expressão do limite L .

Temos:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ t a n   x l o g ⁡ ( s e n   x )

Substituindo o resultado que encontramos, vem que:

L = e 1

∴ L = e

Prontinho pessoal!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

e

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)