Calcule os seguintes limites.

lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 x 1 / x

Passo 1

Devemos então verificar se o limite é indeterminado e ver se a indeterminação é do tipo que admite a aplicação da regra do L’Hopital.

Passo 2

Para esse limite, temos uma indeterminação do tipo ∞ 0 . Assim, vamos usar o fato y = e ln ⁡ y para alterar um pouco o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 x 1 / x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + 2021 x 1 / x = e lim x → ∞ ⁡   1 x ln ⁡ e x + 2021 x

Assim, o limite que realmente importa para você é

lim x → ∞ ⁡   1 x ln ⁡ e x + 2021 x

Este limite é indeterminado do tipo ∞ / ∞ : podemos aplicar a regra de L’Hospital para calculá-lo.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( e x + 2021 x ) x = lim x → ∞ ⁡ ( e x + 2021 ) ( e x + 2021 x ) 1 = lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 e x + 2021 x

*A derivada de ln ⁡ ( e x + x ) foi calculada usando a regra da cadeia:

ln ⁡ e x + x ' = 1 e x + x ⋅ e x + x '

Então, o limite que precisamos calcular agora é

lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 e x + 2021 x

Note que este limite também é uma indeterminação o tipo ∞ / ∞ . Aplicando a regra de L’Hospital de novo:

lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 e x + 2021 x = lim x → ∞ ⁡ e x e x + 2021

Essa é hora que você começa a ficar irritado: o limite seguen indeterminado do tipo ∞ / ∞ : sim, você vai aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez (prometo que será a última):

lim x → ∞ ⁡ e x e x + 2021 = lim x → ∞ ⁡ e x e x = lim x → ∞ ⁡ 1 = 1

Assim,

lim x → ∞ ⁡ e x + 2021 x 1 / x = e 1 = e

Resposta

e .

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)