Calcule os seguintes limites.

lim x → 0 ⁡ t g x - s e n ( x ) x 3

Passo 1

Note que aplicando o limite diretamente a gente vai ter uma indeterminação do tipo 0/0. Então o que podemos fazer aqui? TCHARAAAMMM! Regra do L’Hopital.

Essa regra diz que a gente pode ir derivando a função até que saiamos da indeterminação.

Passo 2

Vamos antes de tudo fazer uma manipulação matemática nessa questão. E antes vamos relembrar de alguns coceitos matemáticos importantes.

lim x → 0 ⁡ s e n m x m x = 1 , lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 2 = 1

Então vamos tentar manipular nossa equação pra gente encontrar exatamente essa propriedade matemática, beleza?

t g x - s e n x x 3 = s e n x cos ⁡ x - s e n x x 3   = s e n x - s e n x cos ⁡ x cos ⁡ x x 3

s e n x 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x x 3 = s e n x 1 - cos ⁡ x x 3 cos ⁡ x = s e n x x 1 x 2 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x

s e n x x 1 x 2 1 - cos ⁡ x cos ⁡ x × 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = s e n x x 1 x 2 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x 1 1 + cos ⁡ x

s e n x x × s e n 2 x x 2 1 cos ⁡ x 1 1 + cos ⁡ x

Passo 3

Vamos aplicar as propriedades que vimos de limite.

lim x → 0 ⁡ s e n x x × s e n 2 x x 2 1 cos ⁡ x 1 1 + cos ⁡ x = 1 × 1 × 1 × 1 1 + 1 = 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g x - s e n ( x ) x 3 = 1 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)