Calcule

r) lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 s e n x  

Passo 1

Nosso limite é o seguinte:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 s e n x  

Quando temos uma expressão do tipo a x b x e ideia vai ser essa aqui ó:

E = cos ⁡ 3 x 1 s e n x   = e ln ⁡ cos ⁡ 3 x 1 sen ⁡ x

Como ln ⁡ ( a b ) = b ln ⁡ a :

E = e 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x     ( i )

Passo 2

Agora vamos analisar como fica o nosso limite!

Antes tínhamos o seguinte:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 s e n x  

Usando a expressão ( i ) , vemos que o limite também pode ser escrito da seguinte forma:

lim x → 0 + ⁡ e 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Portanto,

e lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Então basta resolvermos:

L = lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Quando x → 0 , temos o seguinte:

L = lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x = 1 0 × ln ⁡ 1 = 0 0

Opa, deu uma indeterminação. Então vamos usar a regra de L’hospital:

lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x =   l i m x → 0 + 1 cos ⁡ x × 1 c o s ⁡ ( 3 x ) × s e n 3 x × 3

Obs: não esquece da regra da cadeia!

Agora vamos ver como fica nosso limite.

L = l i m x → 0 + 3 s e n 3 x cos ⁡ x cos ⁡ 3 x

Analisando quando x → 0 :

L = 3 × s e n ( 3 × 0 ) cos ⁡ 0 c o s ⁡ ( 3 × 0 ) = 3 × 0 1 × 1 = 0

Agora é só jogar isso no limite lá do começo:

e lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x

Assim,

e lim x → 0 + ⁡ 1 sen ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ 3 x = e 0

Portanto,

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 sen ⁡ x = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 3 x 1 sen ⁡ x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)