Encontre o limite, se existir.

c) lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função ln ⁡ x x quando x tende a zero pela direita, ou seja, por valores positivos.

Pra isso, nós vamos separar o limite do produto no produto dos limites:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 x

E avaliar o que acontece com cada uma das funções quando x se aproxima de zero por valores positivos.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando a função logaritmo natural, ln ⁡ x , dando uma olhadinha no gráfico dela:

Repare que a medida que nós vamos nos aproximando de 0 , vindo lá da direita e descendo, nossa função vai tendendo a valores negativos cada vez maiores, certo? Isso quer dizer, que ela vai pra - ∞ .

Então, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 x = - ∞ ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 x

E o quê que acontece com a função 1 x ? Bom, nós temos o x ficando cada vez menorzinho e se aproximando de zero. Então, a gente tem um valor constante sendo dividido por um valor cada vez menor. Isso significa que o resultado dessa divisão vai tendendo a infinito. Mas vai tendendo a + ∞ , porque temos 0 + (valores positivos). Então, vai ficar:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 x = - ∞ ∙ ( + ∞ )

Logo,

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- ∞

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2