Encontre o limite, se existir.

d) lim x → 0 ⁡ 5 x - 3 x x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função 5 x - 3 x x quando x tende a zero.

Repare que não dá pra gente simplesmente substituir x = 0 na função, porque isso geraria uma indeterminação do tipo 0 0 . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo, podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para fugir da indeterminação.

Assim, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente (não é pra aplicar regra do quociente na hora de derivar), quantas vezes forem necessárias para fugir da indeterminação, e depois aplicamos o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando numerador e denominador de acordo com a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ 5 x - 3 x x = lim x → 0 ⁡ 5 x ln ⁡ ( 5 ) - 3 x ln ⁡ ( 3 ) 1

Agora sim, tudo lindo. Aplicando o limite com x → 0 , temos:

= 5 0 ln ⁡ 5 - 3 0 ln ⁡ ( 3 ) 1

E como qualquer número elevado a zero é igual a 1 :

= 1 ∙ ln ⁡ 5 - 1 ∙ ln ⁡ ( 3 ) 1

= ln ⁡ 5 - ln ⁡ ( 3 )

A gente pode deixar assim ou aplicar as propriedades de logaritmos e escrever:

= ln ⁡ 5 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ⁡ 5 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2