Encontre o limite, se existir.

e) lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função ln ⁡ x 2 x quando x tende a infinito.

Repare que se a gente substituir x = ∞ na função, vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para fugir da indeterminação.

Assim, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente (não é pra aplicar regra do quociente na hora de derivar), quantas vezes forem necessárias para fugir da indeterminação, e depois aplicamos o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando numerador e denominador de acordo com a regra de L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x 1

Fazendo a divisão de frações:

lim x → + ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x x

Bom, continuamos com a indeterminação. Então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x

Agora a gente não tem mais a indeterminação ∞ / ∞ , porque o numerador é uma constante. Então, a gente tem que avaliar o limite pensando na divisão de um número constante por um número infinitamente grande. O resultado vai se aproximando de zero, certo? Por isso, nós temos:

= 2 ∞ = 0

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)