Encontre o limite, se existir.

f) lim x → + ∞ ⁡ x 1 / x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função y = x 1 / x quando x tende a infinito. Pra nos ajudar, vamos escrever essa função na forma exponencial:

y = e ln ⁡ x 1 / x

A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de e , então não altera em nada nossa função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, nosso limite vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ x 1 / x = lim x → + ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ x

Assim, nós podemos aplicar a propriedade do limite da exponencial, que é dada por:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x

Então, se ambos os limites são finitos, temos que lim x → a ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e = e . E aí nos resta calcular apenas o limite da função no expoente, que no caso será:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Vamos lá!

Passo 2

Observando o limite do expoente que nós precisamos calcular, nós vamos notar que se a gente substituir x = ∞ na função, vamos ter uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para fugir da indeterminação.

Assim, vamos começar derivando numerador e denominador, separadamente, de acordo com a regra de L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1

Fazendo a divisão de frações:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x

Agora a gente não tem mais a indeterminação ∞ / ∞ , porque o numerador é uma constante. Então, a gente tem que avaliar o limite pensando na divisão de um número constante por um número infinitamente grande. O resultado vai se aproximando de zero, certo? Por isso, nós temos:

= 1 ∞ = 0

Substituindo esse resultado no limite da exponencial, como vimos no passo 1 , temos:

lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ x x

= e 0 = 1

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)