Encontre o limite, se existir.

g) lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 cot ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função y = 4 x + 1 cot ⁡ x quando x tende a zero pela direita, isto é, por valores positivos. Pra nos ajudar, vamos escrever essa função na forma exponencial:

y = e ln ⁡ 4 x + 1 cot ⁡ x

A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de e , então não altera em nada nossa função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, nosso limite vai ficar:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ 4 x + 1 cot ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ e cot ⁡ ( x ) ln ⁡ ( 4 x + 1 )

Assim, nós podemos aplicar a propriedade do limite da exponencial, que é dada por:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x

Então, se ambos os limites são finitos, temos que lim x → a ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e = e . E aí nos resta calcular apenas o limite da função do expoente, que no caso será:

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ ( x ) ln ⁡ ( 4 x + 1 )

Vamos lá!

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x , podemos reescrever nosso limite como um quociente na forma:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 4 x + 1 tan ⁡ x

Isso é interessante porque agora temos a forma de uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para nos ajudar.

Assim, vamos derivando numerador e denominador, separadamente, de acordo com a regra de L’Hospital, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 4 x + 1 tan ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 4 4 x + 1 sec 2 ⁡ x

Agora não temos mais indeterminação e podemos aplicar o valor do limite na função:

= 4 4 ( 0 ) + 1 sec 2 ⁡ 0 = 4 1 ∙ 1

= 4

Substituindo esse resultado no limite da exponencial, como vimos no passo 1 , temos:

lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = lim x → 0 + �� e cot ⁡ ( x ) ln ⁡ ( 4 x + 1 )

= e 4

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)