Encontre o limite, se existir.

i) lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x ) sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x ) sin ⁡ x quando x tende a zero.

Repare que se a gente substituir x = 0 na função, vamos ter uma indeterminação do tipo 0 0 . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para fugir da indeterminação.

Assim, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente, quantas vezes forem necessárias para fugir da indeterminação, e depois aplicamos o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando numerador e denominador de acordo com a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ x ) sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x cos ⁡ x

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 + sin ⁡ x ∙ 1 cos ⁡ x

Assim, simplificando temos:

= lim x → 0 ⁡ 1 1 + sin ⁡ x

Como não temos mais indeterminação, já podemos aplicar o valor do limite:

= 1 1 + sin ⁡ 0 = 1 1 + 0

= 1

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)