Nos itens que seguem, use a Regra de L’Hôspital onde for apropriado. Se existir um método

mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.

l i m x → + ∞ 2 x - 3 2 x + 5 x

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular um limite onde vemos que há uma indeterminação porque, quando x → + ∞ , ambos numerador e denominador vão à infinito e, além disso, o expoente também vai. Nossa primeira tentativa poderia ser a regra de L’Hospital, mas utilizando a regra de L’Hospital não nos livraríamos da indeterminação simplesmente derivando o numerador e o denominador. No entanto, podemos resolver o problema se lembrarmos a definição da constante de Euler

e c = l i m x → ∞ 1 + c n n

Sabendo disso, podemos resolver o nosso limite. Quer saber como? Então vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos reescrever a função da qual queremos obter o limite colocando 2x em evidência tanto no numerador quanto no denominador

2 x - 3 2 x + 5 x = 2 x 1 - 3 2 x 2 x 1 + 5 2 x x = 1 - 3 2 x x 1 + 5 2 x x

Agora, podemos tirar o limite da função reescrita nessa forma. Utilizando a propriedade de limites na qual o limite do quociente é o quociente dos limites (desde que o denominador não seja nulo, que vem a ser o caso), obtemos

l i m x → + ∞ 1 - 3 2 x x 1 + 5 2 x x   =   l i m x → + ∞ 1 - 3 2 x x l i m x → + ∞ 1 + 5 2 x x

Agora, reconhecemos que a expressão tanto no numerador quanto no denominador é o limite que nos dá a constante de Euler elevada às constantes, - 3 2 e 5 2 , respectivamente. Assim, temos que o limite da nossa expressão é

l i m x → + ∞ 2 x - 3 2 x + 5 x =   l i m x → + ∞ 1 - 3 2 x x l i m x → + ∞ 1 + 5 2 x x =   e - 3 2 e 5 2 = 1 e 4 = e - 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → + ∞ 2 x - 3 2 x + 5 x =   e - 4

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)