Usando a regra de L'Hôpital, calcule o limite abaixo

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é calcular o limite abaixo usando L’Hopital

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3

Como fazemos isso? Bem, primeiro, vamos revisar essa regra de L'Hôpital

Ela diz que:

l i m x → a f ( x ) g ( x ) = l i m x → a f ' ( x ) g ' ( x ) se f ( a ) g ( a ) = 0 0   o u   ∞ ∞

Ou seja, se f ( a ) g ( a ) = 0 0   o u   ∞ ∞ podemos usar as derivadas das funções para calcular os limites

Então, vamos verificar se o nosso limite satisfaz essa propriedade.

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3

⇒ 1 - c o s ( 0 ) / 0 = 0 / 0

Opa! Satisfaz a condição. Logo podemos aplicar L'Hôpital. Derivando o numerador e denominador temos:

d d x ( 1 - c o s ( x 2 ) )

Pela regra da cadeia

= s i n ( x 2 ) * 2 x

E o nosso denominador fica:

d d x x 3 = 3 x 2

Ou seja, por L'Hôpital. Temos que

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3 = l i m x → 0 2 x s i n ( x 2 ) 3 x 2

= l i m x → 0 2 s i n ( x 2 ) 3 x

Passo 2

Usando L'Hôpital, descobrimos que

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3 = l i m x → 0 2 x s i n ( x 2 ) 3 x 2

= l i m x → 0 2 s i n ( x 2 ) 3 x

Mas ainda não acabamos, podemos usar L'Hôpital novamente. Já que

2 s i n ( 0 ) 3 * 0 = 0 0

Então derivando o numerador temos:

d d x 2 s i n ( x 2 )

Pela regra da cadeia

= 4 x * c o s ( x 2 )

E o denominador fica

d d x 3 x = 3

Então, nosso novo limite é:

l i m x → 0 4 x c o s ( x 2 ) 3

Ou seja, chegamos a conclusão que

l i m x → 0 1 - c o s ( x 2 ) x 3

= l i m x → 0 2 s i n ( x 2 ) 3 x

= l i m x → 0 4 x c o s ( x 2 ) 3

Passo 3

Agora vamos calcular esse limite

l i m x → 0 4 x c o s ( x 2 ) 3

Como a função c o s ( x ) é limitada, então:

l i m x → 0 4 x c o s ( x 2 ) 3 = 0

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento Acima

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)