Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

r) lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x ,   r > 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x

Onde r é um número positivo, ou seja, maior do que zero. Repare que quando x tende a zero por valores positivos, temos lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0 ∙ ( - ∞ ) , porque lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞ . Então, vamos tentar escrever essa expressão como quociente e usar a regra de L’Hospital para nos ajudar. Temos:

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x r

Agora sim, derivando numerador e denominador vamos ter:

= lim x → 0 + ⁡ 1 x - r x r + 1

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 0 + ⁡ 1 x ∙ x r + 1 - r = lim x → 0 + ⁡ - x r r

Agora que não temos mais indeterminação, aplicando o limite, temos:

- 0 r r = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2