Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

p) lim x → 0 + ⁡ 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x

Repare que a nossa função é y = 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x . Então, se a gente calcular o ln dos dois lados da equação, vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x

E aí pelas propriedades de logaritmos, conseguimos nos livrar do expoente, escrevendo:

ln ⁡ y = cot ⁡ x ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x )

Como a gente quer o limite, vamos escrevê-lo dos dois lados da equação:

l i m x → 0 + ln ⁡ y = l i m x → 0 + cot ⁡ x ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x )

Vamos nos concentrar, por enquanto, no limite da direita. Assim, vamos escrever esse produto como um quociente usando a identidade cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x :

l i m x → 0 + cot ⁡ x ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x ) = l i m x → 0 + cos ⁡ x   ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x ) sin ⁡ x

= l i m x → 0 + ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x ) sin ⁡ x cos ⁡ x

Mas sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x . Então, temos:

l i m x → 0 + ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ 4 x ) tan ⁡ x

Agora temos uma indeterminação do tipo 0 0 e podemos usar a regra de L’Hospital para nos salvar.

Passo 3

Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

l i m x → 0 + 4 cos ⁡ ( 4 x ) sec 2 ⁡ x

Agora podemos aplicar o limite:

= 4 cos ⁡ ( 4 ∙ 0 ) sec 2 ⁡ ( 0 ) = 4 cos ⁡ ( 0 ) 1 = 4 ∙ 1 1 = 4

Passo 4

Mas calma, esse ainda não é nosso resultado. Lembra que no passo 2 definimos l i m x → 0 + ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x ? Então, esse é o resultado de l i m x → 0 + ln ⁡ y :

l i m x → 0 + ln ⁡ y = 4

Mas a gente quer o limite de y = 1 + sin ⁡ 4 x cot ⁡ x . Então, vamos jogar esse resultado na exponencial, pra cancelar o ln:

l i m x → 0 + e ln ⁡ y = e 4

Agora sim, encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2