Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

q) lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x

Repare que temos um indeterminação do tipo ∞ - ∞ e aí temos que colocar a função no mesmo denominador pra conseguir aplicar a regra de L’Hospital. Assim, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x - x 2 x 2 sin ⁡ x

Colocando 1 / x 2 em evidência, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ sin ⁡ x - x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x - x 2 sin ⁡ x

Simplificando mais um pouco, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 - x 2 sin ⁡ x

Da mesma forma que a gente pode separar o limite do produto no produto dos limite, também podemos separar a substração. Isso quer dizer que a parte lim x → 0 + ⁡ 1 - x 2 sin ⁡ x é igual a lim x → 0 + ⁡ 1 - lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x . Aplicando a regra de L’Hospital aqui, vamos ter:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 2 x cos ⁡ x = 2 ∙ 0 cos ⁡ 0 = 0 1 = 0

Então, saímos da indeterminação e temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 - x 2 sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 - lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x

= lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ 1 - 0

Sabemos que quando temos uma constante dividida por um valor positivo muito próximo de zero ( x → 0 + ), o resultado dessa divisão vai tender a infinito. Então, teremos:

∞ ∙ 1

= ∞

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2