Use a regra de L’Hospital para calcular os seguintes limites:

n) lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ 2 x x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite usando a regra de L’Hospital. Pra isso, basta a gente derivar numerador e denominador separado pra fugir de indeterminações do tipo ∞ / ∞ ou 0 0 .

Mas e se a gente não tiver um quociente, tiver um produto por exemplo? Aí a gente escreve a função como um quociente e depois aplica a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo. Mas nada de aplicar a regra do quociente na derivação, hein?

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ 2 x x

Repare que a nossa função é y = tan ⁡ 2 x x . Então, se a gente calcular o ln dos dois lados da equação, vamos ter:

ln ⁡ y = ln ⁡ tan ⁡ 2 x x

E aí pelas propriedades de logaritmos, conseguimos nos livrar do expoente, escrevendo:

ln ⁡ y = x ln ⁡ ( tan ⁡ ( 2 x ) )

Como a gente quer o limite, vamos escrevê-lo dos dois lados da equação:

l i m x → 0 + ln ⁡ y = l i m x → 0 + x ln ⁡ ( tan ⁡ ( 2 x ) )

Vamos nos concentrar, por enquanto, no limite da direita. Assim, vamos escrever esse produto como um quociente na forma:

l i m x → 0 + x ln ⁡ ( tan ⁡ ( 2 x ) ) = l i m x → 0 + ln ⁡ ( tan ⁡ ( 2 x ) ) 1 x

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ e podemos usar a regra de L’Hospital para nos salvar.

Passo 3

Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

l i m x → 0 + 1 tan ⁡ ( 2 x ) ∙ ( 2 sec 2 ⁡ 2 x ) - 1 x 2

Simplificando esse negócio, vamos ficar com:

l i m x → 0 + - 2 x 2 sec 2 ⁡ 2 x tan ⁡ ( 2 x )

Mas tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x . Então, podemos escrever:

l i m x → 0 + - 2 x 2 cos ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( 2 x ) cos 2 ⁡ ( 2 x ) = l i m x → 0 + - 2 x 2 sin ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x )

Agora vamos separar os termos em um produto, pra gente enxergar melhor o que acontece:

l i m x → 0 + 2 x sin ⁡ ( 2 x ) ∙ l i m x → 0 + - x cos ⁡ ( 2 x )

Daí, nós temos o limite fundamental l i m x → 0 + 2 x sin ⁡ ( 2 x ) , que é igual a 1 , e a gente percebe que quando x se aproxima de zero pela direita, temos l i m x → 0 + - x cos ⁡ ( 2 x ) = 0 . Assim, teremos:

1 ∙ 0 = 0

Passo 4

Mas calma, esse ainda não é nosso resultado. Lembra que no passo 2 definimos l i m x → 0 + ln ⁡ y = l i m x → 0 + x ln ⁡ ( tan ⁡ ( 2 x ) ) ? Então, esse é o resultado de l i m x → 0 + ln ⁡ y :

l i m x → 0 + ln ⁡ y = 0

Mas a gente quer o limite de y = tan ⁡ 2 x x . Então, vamos jogar esse resultado na exponencial, pra cancelar o ln:

l i m x → 0 + e ln ⁡ y = e 0 = 1

Agora sim, encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2