Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:

m) s i n s i n   x   ∙ l n l n   x    

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função f x = s i n s i n   x   ∙ l n l n   x   , quando x tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.

Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo ∞ ∞ e 0 0 . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.

Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

s i n s i n   x   ∙ l n l n   x    

Temos uma indeterminação porque a função logarítmica não é definida para x = 0 . Então, vamos começar colocando esse produto na forma de quociente:

l n l n   x   1 s i n s i n   x    

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:

1 x - c o t c o t   x   c s c c s c   x    

Fazendo a divisão de frações:

1 - x c o t c o t   x   c s c c s c   x    

Agora, pra ficar mais fácil de visualizar, a gente pode separar o limite do quociente no quociente dos limites:

l i m x → 0 + 1 l i m x → 0 + - x c o t c o t   x   c s c c s c   x  

Daí nós temos o limite da constante no numerador, que é a própria constante. E no limite do denominador, nossa função vai para infinito.

= - 1 ∞

E quando temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, o resultado dessa divisão é zero. Portanto:

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)