Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:

q) lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função e x + x 1 x , quando x tende a zero, usando a regra de L’Hospital.

Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo ∞ ∞ e 0 0 . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.

Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 ⁡ e x + x 1 x  

Pra resolver esse negócio, vamos começar reescrevendo o limite na forma:

lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ e x + x 1 x

Assim, usando as propriedades de logaritmos, temos:

lim x → 0 ⁡ e 1 x ln ⁡ ( e x + x )

E usando as propriedades dos limites, podemos colocar esse limite no expoente, já que e é sempre constante. Assim:

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x

Dessa forma, vamos avaliar apenas lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x e depois substituir na função.

Passo 3

Pra calcular o limite acima, vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:

lim x → 0 ⁡ e x + 1 e x + x 1

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 0 ⁡ e x + 1 e x + x

Agora sim, aplicando limite:

= e 0 + 1 e 0 + 0 = 1 + 1 1 = 2

Só falta a gente substituir esse resultado na expressão que encontramos no passo anterior:

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ e x + x x

= e 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)