Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:

p) lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função f x = x sin ⁡ x , quando x tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.

Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo ∞ ∞ e 0 0 . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.

Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x

Temos uma indeterminação 0 0 . Então, vamos começar reescrevendo o limite na forma:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x sin ⁡ x

Assim, usando as propriedades de logaritmos, temos:

lim x → 0 + ⁡ e sin ⁡ x ln ⁡ x

E usando as propriedades dos limites, podemos colocar esse limite no expoente, já que e é sempre constante. Assim:

e lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x

Dessa forma, vamos avaliar apenas lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x e depois substituir na função.

Passo 3

Pra calcular o limite acima, vamos começar reescrevendo esse produto como um quociente na forma:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 sin ⁡ x

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - cot ⁡ x csc ⁡ x

Fazendo a divisão de frações:

lim x → 0 + ⁡ 1 - x cot ⁡ x csc ⁡ x

Agora, pra ficar mais fácil de visualizar, a gente pode separar o limite do quociente no quociente dos limites:

l i m x → 0 + 1 l i m x → 0 + - x cot ⁡ x csc ⁡ x

Daí nós temos o limite da constante no numerador, que é a própria constante. E no limite do denominador, nossa função vai para infinito.

= - 1 ∞

E quando temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, o resultado dessa divisão é zero. Portanto:

= 0

Só falta a gente substituir esse resultado na expressão que encontramos no passo anterior:

e lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x = e 0

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)