Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:

r) lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x tan ⁡ x  

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função f x = sin ⁡ x tan ⁡ x , quando x tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.

Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo ∞ ∞ e 0 0 . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.

Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x tan ⁡ x  

Pra resolver esse negócio, vamos começar reescrevendo o limite na forma:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ sin ⁡ x tan ⁡ x

Assim, usando as propriedades de logaritmos, temos:

lim x → 0 + ⁡ e tan ⁡ x ln ⁡ ( sin ⁡ x )

E usando as propriedades dos limites, podemos colocar esse limite no expoente, já que e é sempre constante. Assim:

e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ln ⁡ ( sin ⁡ x )

Dessa forma, vamos avaliar apenas lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ln ⁡ ( sin ⁡ x ) e depois substituir na função.

Passo 3

Pra calcular o limite acima, vamos começar reescrevendo esse produto como um quociente na forma:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( sin ⁡ x ) 1 tan ⁡ x

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:

lim x → 0 + ⁡ cot ⁡ x - csc 2 ⁡ x

Continuamos com a indeterminação, então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim x → 0 + ⁡ - c sc 2 ⁡ x 2 csc 2 ⁡ x cot ⁡ x

Simplificando:

lim x → 0 + ⁡ - 1 2 cot ⁡ x = - 1 2 lim x → 0 + ⁡ 1 cot ⁡ x

= - 1 2 lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x

Agora sim, aplicando limite:

- 1 2 tan ⁡ ( 0 ) = 0

Só falta a gente substituir esse resultado na expressão que encontramos no passo anterior:

e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x ln ⁡ ( sin ⁡ x ) = e 0

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)