Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

x 2 + y 2 - z 2 = n

x 2 + y 2 = z 2 + n

E esse é a nosso conjunto de nível.

C n f = x , y , z ∈ R 3   ; x 2 + y 2 = z 2 + n  

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Passo 2

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

x 2 + y 2 = z 2 + n

Isso não tem restrição nenhuma, né? Então significa que nosso n pode assumir qualquer valor.

Então

n ∈ R

Passo 3

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

x 2 + y 2 = z 2 + 0

Ou seja, temos o cone de duas folhas.

Se n > 0 :

x 2 + y 2 - z 2 = n > 0

Que são hiperboloides de uma folha.

Lembrando que a equação geral do hiperboloide de uma folha é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 1

Daí no nosso caso, é só dividir os dois lados por n que teremos nosso hiperboloide de uma folha.

Se n < 0 :

x 2 + y 2 - z 2 = n < 0

Multiplicando tudo por -1 pro lado do n ficar positivo:

- x 2 - y 2 + z 2 = n

Que são hiperboloides de duas folhas.

Lembrando que a equação geral do hiperboloide de duas folhas, com eixo no eixo z é:

- x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Daí no nosso caso, é só dividir os dois lados por n que teremos nosso hiperboloide de duas folhas.

Passo 4

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

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