Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.75 – exemplo 3.8

Descreva e esboce as superfícies de nível de f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 .

Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

x 2 + y 2 - z 2 = k

Note que, para identificar essa superfície, temos que analisar o sinal da constante k para cada caso: k > 0 , k < 0 e k = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se k > 0 :

Podemos dividir os dois lados por k :

x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1

Como k > 0 , podemos dizer que k = a 2 , onde a > 0 .

x 2 a 2 + y 2 a 2 - z 2 a 2 = 1

Esta superfície é um hiperboloide de uma folha, com eixo em z .

Passo 3

Se k = 0 :

Substituindo na equação:

x 2 + y 2 - z 2 = k

Temos que

x 2 + y 2 - z 2 = 0

z 2 = x 2 + y 2

Esta superfície é um cone circular, com eixo em z .

- ''

Passo 4

Se k < 0 :

Podemos dividir os dois lados por k :

x 2 k + y 2 k - z 2 k = 1

Como k < 0 , podemos dizer que k = - a 2 , onde a > 0 .

- x 2 a 2 - y 2 a 2 + z 2 a 2 = 1

Esta superfície é um hiperboloide de duas folhas, com eixo em z .

Resposta

x 2 + y 2 - z 2 = k

Se k > 0 : hiperboloide de uma folha

Se k = 0 : cone circular

Se k < 0 : hiperboloide de duas folhas

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