Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

(Capítulo 14.1 – Exercício 66) Descreva as superfícies de nível da função.

f x ,   y ,   z = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2

Passo 1

E aí galerinha, tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?

O objetivo dessa questãozinha aqui, é descrever as superfícies de nível da função dada. Tá, mas por onde começar? Como fazemos isso?

Essas superfícies de nível, servem para descrevermos funções com 3 variáveis, que é o caso da nossa função f x ,   y ,   z dada no enunciado. Elas mostram pra gente o comportamento da função, e pra calculá-las, basta igualarmos a uma função constante !

Em termos de quação vamos ter: f x , y , z = k .

Bora lá então!

Passo 2

Igualando a função dada, à função constante, temos que:

f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 = k

Se k < 0 , não existem superfícies de nível. Então, vamos começar igualando a função a 0 e partir disso. Vale lembrar aqui, que quando fizermos k = 0 , teremos: x , y , z = 0 ,   0 ,   0 . Essa coordenada será a origem!

Já quando k ≠ 0 , as superfícies de nível são elipsoides. Lembrando que elipses apresentam a seguinte equação característica:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Então, fazendo isso para a nossa equação, temos que:

x 2 k + y 2 k 3 + z 2 k 5 = 1

A superfície de nível pode ser descrita pela equação acima! Para determinarmos as superfícies e termos algo como a imagem abaixo, basta determinarmos diferentes valores para k e irmos colocando no gráfico.

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

x 2 k + y 2 k 3 + z 2 k 5 = 1

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