Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Desenhar as curvas ou superfícies de nível dos seguintes campos escalares.

  1. f   :   R ²   →   R ,   f   ( x ,   y )   = y x + 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente desenhar as curvas de nível da função f dada. Para calcular as curvas de nível dessa superfície, precisamos fazer uma de suas variáveis constante e analizar que tipo de função obtemos quando temos as duas variáveis restantes variando. Por exemplo, vamos começar fazendo

f ( x , y ) = c t e = k

Fazendo isso, obtemos curvas nos planos paralelos ao plano z com equação

y ( x ) = k ( x + 1 )

Ou seja, temos retas de y em função de x, quando olhamos a superfície pelo eixo z. A figura abaixo ilustra a situação para k = 1, 2 e 3.

Agora vamos seguir o mesmo raciocínio para x constante e ver quais curvas obtemos. Então vamos lá!

Passo 2

Se fizermos x = k constante na função f   ( x ,   y )   = y x + 1 , obtemos

f ( k , y ) = y k + 1   ⇒   y = ( k + 1 ) f ( k , y )

Como k é constante, temos que as curvas são também retas, mas que passam na origem. Para k= 0, 1, 2 temos as curvas ilustradas na imagem abaixo:

Agora só falta determinar o que ocorre quando fazemos y constante. Bora lá!

Passo 3

Da função f   ( x ,   y )   = y x + 1 , se fizermos y = k constante, obtemos curvas do tipo

f   ( x ,   y )   = k x + 1

Temos funções que caem conforme x aumenta. A figura abaixo ilustra as curvas de nível dessa situação:

A figura a seguir ilustra a superfície definida por f(x,y):

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z