Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Seja f : ℝ 2 → ℝ definida por f ( 0,0 ) = 0 e f ( x , y ) = 2 x y x 2 + y 2 , se ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) . Mostre que

l i m h → 0 f ( 1 + h , 1 ) - f ( 1,1 ) h = 0 e l i m k → 0 f ( 0 , k ) - f ( 0,0 ) k = 0

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Usando a função definida de forma que f : ℝ 2 → ℝ , onde

f ( 0,0 ) = 0 e f ( x , y ) = 2 x y x 2 + y 2 , se ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

precisamos calcular ambos os limites e verificar que

l i m h → 0 f ( 1 + h , 1 ) - f ( 1,1 ) h = 0 e l i m k → 0 f ( 0 , k ) - f ( 0,0 ) k = 0

Vamos então aplicar a nossa função nos limites! E, ver se isso é verdade! Bora lá!

Passo 2

Começando com o primeiro limite, temos que avaliar os elementos do limite, usando a definição da função, temos que

f ( 1 + h , 1 ) = 2 ( 1 + h ) ( 1 ) ( 1 + h ) 2 + ( 1 ) 2 = 2 ( 1 + h ) ( 1 + h ) 2 + 1

e, temos que

f ( 1,1 ) = 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1

Ou seja, precisamos resolver o seguinte limite

l i m h → 0 f ( 1 + h , 1 ) - f ( 1,1 ) h = l i m h → 0 2 + 2 h ( 1 + h ) 2 + 1 - 1 h

Vamos resolver esse limite agora!

Passo 3

Usando que ( 1 + h ) 2 = 1 + 2 h + h 2 , e fazendo um MMC no numerador, obtemos

l i m h → 0 2 + 2 h ( 1 + h ) 2 + 1 - 1 h = l i m h → 0 2 + 2 h - ( 1 ) ( 2 + 2 h + h 2 ) h ( 2 + 2 h + h 2 ) = l i m h → 0 h 2 2 h + 2 h 2 + h 3

ou seja, podemos simplificar um h no numerador e denominador, para obter

l i m h → 0 h 2 2 h + 2 h 2 + h 3 = l i m h → 0 h 2 + 2 h + h 2

que avaliando em h = 0 , é simplesmente

l i m h → 0 h 2 + 2 h + h 2 = 0

O primeiro já foi! Vamos mostrar o outro agora!

Passo 4

Vamos usar agora a função para escrever os elementos do segundo limite, temos que

f ( 0 , k ) = 2 ( 0 ) ( k ) ( 0 ) 2 + k 2 = 0

e, por definição, temos que

f ( 0,0 ) = 0

Desta forma, é bastante direto mostrar que

l i m k → 0 0 - 0 k = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z