Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Considere a região do espaço

W = x , y , z ∈ R 3 z 4 ≥ x 2 + y 2   ,   1 < z < 2

  1. Esboce hachurando A = W ∩ x , y , z ∈ R 3 z = 3 2
  2. Esboce hachurando B = W ∩ x , y , z ∈ R 3 x = 0   ,   y ≥ 0

Passo 1

a )

Bom, vamos primeiro entender qual é essa região aí de interseção da letra a . Para isso, vamos substituir z = 3 2 na equação de W .

3 2 4 ≥ x 2 + y 2

x 2 + y 2 ≤ 81 16 = 9 4

Isso nada mais é do que um disco. É como se fosse uma circunferência com centro na origem e raio 3 4 , mas como tem o sinal de menor ou igual, incluiu o eu tá dentro dela tbm.

Além disso, é importante a gente ficar atento que esse disco tá na altura do plano z = 3 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Agora vamos fazer x = 0 na equação de W .

z 4 ≥ 0 2 + y 2

y 2 ≤ z 4

y ≤ z 2

E isso é uma parábola, ou melhor, o que está “fora” da parábola.

Lembrando que, do enunciado,

y ≥ 0

1 < z < 2

Assim, temos só uma parte da parábola.

Plotando isso no plano y z :

Resposta

a )

b )

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