Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2000, p.77 -7ii(modificado)

Na figura estão representadas superfícies de nível da função g x , y , z . Escreva uma expressão adequada para g .

Passo 1

De cara essa questão pode parecer meio bizarra, mas vamos destrinchar ela com calma.

Primeiro: essas superfícies são superfícies de nível da função, portanto elas são dadas pela equação geral

g x , y , z = k ,

com k variando de - 1 a 3 , como podemos ver na figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Outra coisa: podemos ver que essas superfícies são planos paralelos ao plano y z , portanto planos de equação

x = c o n s t a n t e

Vou chamar essa nova constante de C (nome bem original, eu sei). Se você prestar bem atenção na figura, vai ver que os valores de x estão indicados no eixo. E esses números são justamente os valores de C , variando de 0 a 4 .

Portanto, as 5 superfícies de nível mostradas têm equação dada por:

x = 0

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

Passo 3

Beleza, agora o lance é comparar os C com os k . Por exemplo, no primeiro plano lá atrás, de equação x = 0 , temos k = 3 . Ou seja:

x = 0 g x , y , z = 3

Ou seja, já podemos escrever uma expressão não muito profissional pra g :

g x , y , z = a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x + 3

Certo? Já que quando x = 0 , g vale 3.

Passo 4

Vamos ver um dos outros planos pra ter mais informações sobre g . Por exemplo a superfície de nível x = 3 . Ela corresponde ao nível k = 0 .

x = 3 g x , y , z = 0

Opa, se g vale zero então

a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x + 3 = 0

a l g u m a   c o i s a   a   v e r   c o m   x = - 3

Hmm, e justamente o x vale 3 . Já dá pra ter um palpite:

g x , y , z = - x + 3

O que você acha? Isso dá certo pro x = 0 que vimos antes.

O jeito é testar pras outras superfícies de nível!

Passo 5

Vamos pegar a superfície

x = 1 k = 2

Temos

g x , y , z = 2

Pelo nosso palpite, isso daria

- x + 3 = 2

x = 1

Os valores estão batendo! E se a gente parar pra olhar as outras superfícies de nível, podemos ver que conforme o x vai crescendo, o k vai diminuindo linearmente, e vice-versa.

Então é isso mesmo, na base do “chute direcionado” achamos uma expressão adequada pra função:

g x , y , z = - x + 3

Resposta

g x , y , z = - x + 3

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