Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Descreva as superfícies de nível da função w = f ( x , y , z ) .

( a )   f ( x , y , z ) = x + 3 y + 5 z ( b )   f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que descrever as superfícies de nível das seguintes funções

( a )   f ( x , y , z ) = x + 3 y + 5 z ( b )   f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2

superfícies de nível são obtidas quando fazemos a seguinte identificação

w = f ( x , y , z ) = c

note que como temos ainda três variáveis livres para evoluir! Isso é uma superfície e não uma curva! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro para a função

w = f ( x , y , z ) = x + 3 y + 5 z

Usando que w = c , temos que as superfícies de nível são equações de um plano dadas por

x + 3 y + 5 z - c = 0

note que deve apenas identificar na equação geral do plano que d = - c . Essa é a primeira alternativa! Vamos para a próxima!

Passo 3

Temos agora a função

w = f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2

usando que w = c , obtemos que

c = x 2 + 3 y 2 + 5 z 2

dividindo ambos os lados por c , temos que

x 2 c + 3 y 2 c + 5 z 2 c = 1

que são elipsóides para cada valor da constante c . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   P l a n o s e ( b )   E l i p s ó i d e s

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z