Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

z - x 2 - y 2 = n

z = x 2 + y 2 + n

E esse é nosso conjunto de nível.

C n f = x , y , z ∈ R 3   ; z = x 2 + y 2 + n  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

z = x 2 + y 2 + n

Isso não tem restrição nenhuma, né? Então significa que nosso n pode assumir qualquer valor.

Então

n ∈ R

Passo 3

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

z = x 2 + y 2 + 0

Ou seja, temos um paraboloide elíptico com eixo no eixo z e bem certinho com a “bunda” na origem rsrs

Assim óh:

Agora, se fizermos o n variar para além do zero, tanto positivamente quanto negativamente, o que acontece é que vamos estar deslocando o nosso paraboloide ao longo do eixo dele, que no caso é o eixo z .

Assim, se n > 0 a gente desloca nosso paraboloide de n unidades para cima, no eixo z e se n < 0 , a gente desloca nosso paraboloide de n unidades para baixo no eixo z .

Easy game?

Passo 4

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas