Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Descreva as superfícies de nível da função w = f ( x , y , z ) .

( c )   f ( x , y , z ) = x 2 - y 2 + z 2 ( d )   f ( x , y , z ) = x 2 - y 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que descrever as superfícies de nível das seguintes funções

( c )   f ( x , y , z ) = x 2 - y 2 + z 2 ( d )   f ( x , y , z ) = x 2 - y 2

superfícies de nível são obtidas quando fazemos a seguinte identificação

w = f ( x , y , z ) = c

note que como temos ainda três variáveis livres para evoluir! Isso é uma superfície e não uma curva! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro para a função

w = f ( x , y , z ) = x 2 - y 2 + z 2

Usando que w = c , temos que as superfícies de nível são equações de um plano dadas por

x 2 - y 2 + z 2 = c

dividindo tudo por c , temos que

x 2 c - y 2 c + z 2 c = 1

que é um hiperbolóide de uma folha com eixo central em y , já que é a variável que carrega o sinal negativo! Beleza, vamos para a próxima!

Passo 3

Temos agora a função

w = f ( x , y , z ) = x 2 - y 2

usando que w = c , obtemos que

c = x 2 - y 2

dividindo ambos os lados por c , temos que

x 2 c - y 2 c = 1

Essas expressões são hipérboles no plano x y , em que o eixo central é o eixo y , no entanto, não há dependência na variável z , então devemos arrastar nossa hipérbole por todo o eixo z , obtendo um cilindro hiperbólico! A questão foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

( a )   H i p e r b o l ó i d e   d e   1   f o l h a e ( b )   C i l i n d r o   h i p e r b ó l i c

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