Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Descreva as superfícies de nível da função abaixo.

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1

Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

⇒ ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = k

Tirando a exponencial nos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = e k

x 2 + y 2 + z 2 = e k + 1

Passo 2

Note que, para qualquer valor de k , o lado direito da equação é sempre positivo. Portanto, se substituirmos e k + 1 = r 2 , teremos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

E esta superfície é uma esfera de raio r = e k + 1

Resposta

As superfícies de nível k de f são esferas de raio e k + 1 .

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Calcule, caso exista.d) l i m x , y → 0,0 x y x 2 + y 2
Calcule l i m h , k → 0,0 f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h , k , onde f x , y = x 2 + y 2
1 - Calcule caso exista e ) lim x , y → 0 ,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4
Calcule, caso exista.b) l i m x , y → 0,0 x x 2 + y 2
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z