Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 935 - 55

Seja

f x , y , z = x 2 + y 2 - z

Determine uma equação da superfície de nível que passa pelo ponto

a) 1 , - 2 ,   0

b) 1 ,   0 ,   3

c) 0 ,   0 ,   0

Passo 1

a)

Vamos começar calculando o valor da função no ponto dado:

f 1 , - 2 ,   0 = 1 + 4 - 0 = 5

Beleza, então estamos tratando da superfície de nível 5 da função.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora igualamos a expressão da função ao valor achado, 5:

f x , y , z = 5

x 2 + y 2 - z = 5

Isso já é a equação da superfície de nível, mas podemos ajeitar um pouco, deixando ela explícita, o que dá:

z = x 2 + y 2 - 5 ,

que é a equação de um paraboloide circular com vértice em 0 ,   0 ,   - 5 .

Passo 3

b)

Vamos fazer exatamente a mesma coisa!

Calcular o valor da função no ponto:

f 1 ,   0 ,   3 = 1 + 0 - 3 = - 2

Passo 4

Igualar função ao valor achado:

x 2 + y 2 - z = - 2

z = x 2 + y 2 + 2 ,

que também é um paraboloide circular.

Passo 5

c)

E agora, pra finalizar, vamos fazer o mesmo procedimento com a origem:

f 0 ,   0 ,   0 = 0

Ela se situa sobre a superfície de nível 0 da f .

Passo 6

Igualamos a função a zero:

x 2 + y 2 - z = 0

z = x 2 + y 2

Resposta

a) z = x 2 + y 2 - 5

b) z = x 2 + y 2 + 2

c) z = x 2 + y 2

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