Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 1, Questão 34

As superfícies de nível da função

w = f x , y , z = z - x 2 - y ²

Associadas aos níveis w = - 2 w = 0 e w = 2 podem se cortar? Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos ver quem são essas superfícies de nível:

Para w = - 2 :

z - x 2 - y 2 = - 2

z = x 2 + y 2 - 2

Que é um paraboloide elíptico deslocado 2 unidades para baixo no eixo z .

Para w = 0 :

z - x 2 - y 2 = 0

z = x 2 + y 2

Que é um paraboloide elíptico.

Para w = 2 :

z - x 2 - y 2 = 2

z = x 2 + y 2 + 2

Que é um paraboloide elíptico deslocado 2 unidades para cima no eixo z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos, portanto, 3 paraboloides que “começam” em pontos distintos do eixo z .

Intuitivamente a gente percebe que eles não podem se cruzar, mas se a gente pensar bem, eles realmente não podem se cruzar pois a superfície de nível, assim como a curva de nível, representa todos os pontos para os quais a função vale o mesmo valor k . Portanto, para valores diferentes de k , temos pontos diferentes já que o mesmo ponto não pode dá valores diferentes de k . Assim, as superfícies de nível, tal como as curvas de nível, não podem se cruzar.

Resposta

Não.

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