Nos itens abaixo, faça o que se pede.

  1. Estude a convergência das séries ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3 e ∑ n = 1 ∞ x - 2 n 3 n , x ∈ R ;
  2. Determine a solução geral da EDO y 4 + 4 y ' ' ' + 8 y ' ' + 8 y ' + 4 y = 0 ;
  3. Resolva a EDO x d y - y d x = x y 1 2 d x

Passo 1

Faaala, pessoal. Vamos tratar de ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3 , como n 3 ' = 3 n 2 , pensamos em fazer o Teste da Integral. Seja f x = x 2 e - x 3 ,   x ≥ 1 , tal que:

f ' x = 2 x e - x 3 - 3 x 2 e - x 3 x 2 = x e - x 3 2 - 3 x 3 < 0 ,       ∀   x ≥ 1

Logo, f ( x ) é decrescente para x ≥ 1 , além de ser contínua e positiva, de forma que o Teste da Integral é aplicável. Assim, seja T n :

T n = ∫ 1 n f x d x =

= ∫ 1 n x 2 e - x 3 d x =

= - e - x 3 3 1 n =

= - 1 3 e - n 3 - 1 e

Tal que lim n → ∞ ⁡ T n = 1 3 e e a sequência ( T n ) converge. Assim, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3 converge.

Passo 2

Tratando agora de ∑ n = 1 ∞ x - 2 n 3 n , x ∈ R , observe que é uma série geométrica de razão r = x - 2 3 . Esta converge se, e somente se, r < 1 :

x - 2 3 < 1 ⇒ x - 2 < 3 ⇒ - 3 < x - 2 < 3 ⇒ - 1 < x < 5

Assim, esta série converge se x ∈ ( - 1,5 ) e diverge para todo x ∈ { R - ( - 1,5 ) }.

Resposta

A série ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3 converge e ∑ n = 1 ∞ x - 2 n 3 n converge se x ∈ ( - 1,5 ) e diverge para todo x ∈ { R - ( - 1,5 ) }.

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