Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 2, Questão 1p

Passo 1

Nesta questão, faremos o teste da integral. Primeiro, vamos provar a que a função correspondente a este termo é decrescente a partir de um certo ponto.

a n = ln ⁡ n n 7 / 6

f x = ln ⁡ x x 7 / 6

Faremos isso pela derivada:

f ' x = x 1 / 6 - 7 l n ⁡ ( x ) x 1 / 6 6 x 14 / 6

Para x = e essa derivada já é negativa, então podemos considerar a partir deste ponto.

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Passo 2

Vamos calcular a integral imprópria:

∫ e ∞ ln ⁡ x x 7 / 6 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ e b ln ⁡ x x 7 / 6 d x

Faremos a regra da substituição, adotando u = l n ⁡ ( x ) e d u = 1 x d x

∫ e b ln ⁡ x x 7 6 d x = ∫ e b u e u 6 d u = ∫ e b u e - u 6 d u

Resolvendo a integral por partes, você ficará com:

∫ e b u e - u 6 d u = - 6 u e - u 6 + 36 e - u 6 e b = - 6 ln ⁡ x e - ln ⁡ x 6 + 36 e - ln ⁡ x 6 e b = - 6 ln ⁡ x x - 1 6 + 36 x - 1 6 e b

6 ln ⁡ x x 1 6 - 36 x 1 6 e b = - 6 ln ⁡ b + 36 b - 1 6 - ( - 6 ln ⁡ e + 36 ) e - 1 6

- 6 ln ⁡ b + 36 b - 1 6 - ( - 6 + 36 ) e - 1 6

- 6 ln ⁡ b + 36 b - 1 6 - 30 e - 1 6

Passo 3

Agora vamos calcular o limite para ver se ele vai pra infinito ou não:

∫ e ∞ ln ⁡ x x 7 / 6 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ e b ln ⁡ x x 7 / 6 d x

∫ e ∞ ln ⁡ x x 7 / 6 d x = lim b → ∞ ⁡ - 6 ln ⁡ b + 36 b - 1 6 - 30 e - 1 6

Perceba que a parte que simboliza um número não é importante, então vou tirar ela do limite:

lim b → ∞ ⁡ - 6 ln ⁡ b + 36 b - 1 6 = 0

Como encontramos um número, significa que a função converge.

Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge.

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