Exercícios Resolvidos de Teste da integral

USP, Cálculo 4, P1 - 2014, Questão 2c

Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

n = 2 1 n ln n

Passo 1

Essa série tem cara de ser integrável, vamos ver se dá pra aplicar o critério da integral?

Não esqueça que a função TEM que ser decrescente, vamos testar isso:

f x = 1 x ln x

f ' x = - ln x + 1 x ln x 2

Essa função tem um denominador positivo, o numerador vai ser maior que 0 sempre que

ln x + 1 > 0

Então

ln x > - 1

x > e - 1

x > 1 e

Como queremos x 2 essa derivada sempre vai ser negativa porque temos a divisão de positivos vezes um menos ali na frente.

Então podemos aplicar o teste da integral

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A nossa integral vai ser imprópria, então

2 f x d x = 2 1 x ln ( x ) d x = lim b 2 b 1 x ln ( x ) d x

Vamos resolver a integral não determinada primeiro:

1 x ln ( x ) d x = ?

Bem bem, que tal um substituição simples?

u = ln x d u = 1 x d x

Substituindo:

1 x ln ( x ) d x = 1 u d u = ln | u | = ln | ln x |

Passo 3

Então fica:

lim b 2 b 1 x ln ( x ) d x = l i m b ln | ln b | - ln ln 2 = ln ln - ln ln 2 =

A integral diverge, logo a série diverge!

Resposta

A série diverge.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas