Exercícios Resolvidos de Teste da integral

USP - Cálculo 4 - P1 2012 – 2a

Determine se a série converge ou diverge

n = 1 1 n 1 + ln n 2

Passo 1

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x 1 + ln x 2

Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada

f ' x = 0 - 1 + ln x 2 + x 2 ln x 1 x x 1 + ln x 2 2 = - 1 + ln x 2 + 2 ln x x 1 + ln x 2 2

Vamos dar uma arrumada nisso, repara que temos

1 + ln x 2 + 2 ln x = ln x 2 + 2 ln x + 1 = ln x + 1 2

Então

f ' x = - ln x + 1 2 x 1 + ln x 2 2

O denominador e o numerador são sempre positivos, então com aquele menos de fora a derivada vai ser negativa sempre, assim a nossa função é decrescente e podemos usar o teste da integral.

Agora devemos olhar a convergência da integral

1 f x d x = 1 1 x 1 + ln x 2 d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para essa integral

1 1 x 1 + ln x 2 d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

1 1 x 1 + ln x 2 d x = lim a 1 a 1 x 1 + ln x 2 d x

Temos que resolver

1 x 1 + ln x 2 d x

Vamos fazer

ln x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

1 x 1 + ln x 2 d x = 1 1 + u 2 d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral

1 1 + u 2 d u

Aqui vamos usar substituição trigonométrica, como temos u 2 + 1 vamos fazer

u = 1 tan θ

Assim

d u = sec 2 θ d θ

Substituindo na integral

1 1 + u 2 d u = 1 tan θ 2 + 1 sec 2 θ d θ = sec 2 θ d θ tan 2 θ + 1

Lembrando que

sec 2 θ = tan 2 θ + 1

Assim vamos ter

sec 2 θ d θ tan 2 θ + 1 = sec 2 θ d θ sec 2 θ = θ

Como

θ = arctan u

Vamos ter

1 1 + u 2 d u = arctan u

Passo 4

Isso nos diz que

1 1 + u 2 d u = arctan u

Voltando para x

1 x ( 1 + ln x 2 d x = arctan ln x

Passo 5

Voltando para o nosso limite temos

lim a 1 a 1 x ( 1 + ln x 2 d x = lim a arctan ln x 1 a = lim a arctan ln a - arctan ln 1

Temos

lim a arctan ln a - arctan 0 = lim a arctan ln a + 0 = π 2

E essa integral converge a série converge

Resposta

Converge

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