Exercícios Resolvidos de Teste da integral

USP, Cálculo 4, P1 - 2011, Questão 1a

Determine se a série converge ou diverge

n = 2 1 n ln n 2

Passo 1

Se olharmos bem esse termo da série vai para 0 quando n , então o teste da divergência não vai ajudar.

Repara que temos ln n e 1 n no termo geral, isso nos dá uma dica de usarmos o teste da integral.

Para o teste da integral temos que fazer

f x = 1 x ln x 2

Antes de mais nada devemos olhar essa função e ver se ela é decrescente, para isso vamos analisar o sinal da sua derivada

f ' x = 0 - ln x 2 + x 2 ln x 2 - 1 1 x x ln x 2 2 = - ln x 2 + 2 ln x 2 - 1 x 2 ln x

Repara que

ln x > 0 x > 1

Como a nossa série começa em x = 2 vamos ter esse logaritmo sendo positivo, assim no numerador temos a soma de coisas positivas, que é positivo, e no denominador temos o produto de coisas positivas, que é positivo. Assim, vamos ter a divisão de caras positivos vezes aquele menos maroto deixando a derivada sendo negativa no nosso intervalo.

Podemos aplicar o teste da integral

Agora devemos olhar a convergência da integral

2 f x d x = 2 1 x ln x 2 d x

Se essa integral convergir então a série converge, se ela divergir a série diverge.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para essa integral

2 1 x ln x 2 d x

Essa integral com é uma integral imprópria, e ela não tem nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo, então vamos ter

2 1 x ln x 2 d x = lim a 2 a 1 x ln x 2 d x

Temos que resolver

1 x ln x 2 d x

Vamos fazer

ln x = u

d u = 1 x d x

E a integral vai ficar

1 x ln x 2 d x = 1 u 2 d u = u - 2 d u = u 1 - 2 1 - 2

Voltando para x temos

u 1 - 2 1 - 2 = ln x 1 - 2 1 - 2

Passo 3

Voltando para o nosso limite temos

lim a 2 a 1 x ln x 2 d x = lim a ln x 1 - 2 1 - 2 2 a = lim a ln a 1 - 2 1 - 2 - ln 2 1 - 2 1 - 2

Repara que

1 - 2 < 0

Então

1 - 2 = 0

O nosso limite lá de cima vai ser

lim a ln a 1 - 2 1 - 2 - ln 2 1 - 2 1 - 2 = 1 - 2 1 - 2 - 2 1 - 2 1 - 2 = - 2 1 - 2 1 - 2

E essa integral converge a série converge

Resposta

Converge

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas