Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2016.1, Questão 1a

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo.

m = 1 1 + ln m m 2 + 1

Passo 1

Que série desgraçada é essa?? Seguinte, não consigo pensar em nenhum teste que venha a ser útil nesse caso, então... por que não tentamos o teste da integral?

Ta, mas essa desgraça não é fácil de integrar não! Ia ser bem mais fácil se o termo dentro do ln x fosse igual ao termo de baixo! Dando uma misturada na série podemos chegar a um negócio parecido e que é mais fácil de integrar:

b m = n = 1 ln ( m + 1 ) m + 1 2

Já que estamos meio desesperados, vamos ver se achamos uma relação dessa série com a nossa pela comparação no limite:

lim m a m b m = lim n 1 + ln m m 2 + 1 m + 1 2 ln m + 1

a m é o termo da série que a gente que a gente quer analisar!

Agora presta atenção numa coisa! Quando m , ln m = ln m + 1 e m + 1 2 = m 2 concorda? Aquele 1 ali é insignificante! Então cortando esses termos:

lim n a m b m = 1

Assim, essas séries ou convergem juntas ou divergem juntas. Ufa! Que sorte!

Agora devemos analisar a convergência da série b m usando o teste da integral que tínhamos planejado lá no começo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro devemos ver se o termo geral vai a zero e se a função é decrescente.

  • l i m m b m =   lim m ln m + 1 m + 1 2 = 0
  • f x =   ln x + 1 x + 1 2   e temos que a derivada de f é dada por:

f ' x = x + 1 - 2 ( x + 1 ) ln ( x + 1 ) x + 1 4 =   1 - 2 ln ( x + 1 ) x + 1 3

Para que f ' x < 0 , precisamos:

1 - 2 ln x + 1 < 0

1 < 2 ln x + 1

e 1 2 < x + 1

x > e - 1

E como esse valor é maior que - 1 , x + 1 3 > 0 ! Então a função é decrescente para todo x maior que e - 1 . Pra facilitar nas contas, vamos usar x 1 o que acha? Já que 1 > e - 1 , ta tranquilo ;)

Assim:

1   ln x + 1 x + 1 2 d x  

Fazendo u = x + 1 e d x = d u temos:

2   ln x + 1 x + 1 2 d x =   2   ln u u 2 d u

E essa integral sai por partes

v w ' = v ' w + v w ' v w ' = v w ' - w v '

Onde

w = 1 u w ' = - 1 u 2

v = ln u v ' = 1 u

Então

2   ln u u 2 d u = - 2 ln u - 1 u 2 d u = - 2 ln u 1 u d u - 2 1 u 1 u d u

2   ln u u 2 d u = 2 d u u 2 - 2 ln u u ' d u = - 1 u - ln u u u = 2 u

2   ln x + 1 x + 1 2 d x = 1 2 + ln 2 2

2   ln x + 1 x + 1 2 d x = 1 + ln 2 2

Logo essa série converge. Consequentemente, a série que nós queremos converge também o/.

Além disso, como:

1 + ln m m 2 + 1 = 1 + ln m m 2 + 1

Para m 1 , a série converge absolutamente.

Finalmente! Os caras forçaram um pouco a barra nessa questão, mas agora estamos preparados caso apareça de novo né? 😉

Resposta

A série converge absolutamente.

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