Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2015.1, Questão 1

Seja a série

n = 0 a n p

Com p > 0 .

Estude a convergência dessa série para os possíveis valores de p .

Passo 1

Vamos usar o teste da integral nessa série.

Sendo

a n = a n p

Definimos

f x = a x p

Primeiro temos que ver se esse termo geral é decrescente, para p > 0 , vamos ter esse termo sendo decrescente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que cálculo a integral

0 a x p d x

Precisamos fazer então

lim b 1 b a x p d x

Vamos calcular a integral com intervalo finito

1 b a x p d x = 1 b a x - p   d x =

= a x 1 - p 1 - p 1 b =

= a b 1 - p - 1 1 - p

Passo 3

Vamos agora para o limite desse termo geral

lim b a b 1 - p - 1 1 - p = a lim b b 1 - p - 1 1 - p = a lim b b 1 - p 1 - p - a 1 1 - p

Esse limite que envolve o b depende dos valores daquele expoente, 1 - p .

Se 1 - p > 0 , o nosso limite vai para . Ou seja,

p < 1 S é r i e   D i v e r g e

Se 1 - p < 0 , o nosso limite com b 1 - p , vai para 0 . Assim,

lim b a b 1 - p - 1 1 - p = - a 1 1 - p

E a nossa série vai convergir.

Repara que se 1 - p = 0 , não podemos ter esse limite porque não podemos dividir por 0 . Mas

1 - p = 0 p = 1

Assim nossa série vai ficar

n = 0 a n

Que é a série harmônica, logo diverge.

Resposta

Converge para p > 1

Diverge para p 1

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