Exercícios Resolvidos de Teste da integral

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2017.1, Questão 1c

  1. A série m = 2 1 m ( log m ) 2 é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Temos:

a m = 1 m log m 2

Logo, podemos definir:

f x = 1 x ( log x ) 2

Assim, temos f m =   a m .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

x log x 2 > 0 sempre! Além disso, como o denominador é crescente e o numerador constante ( = 1 ), podemos garantir que f ( x ) é decrescente.

Passo 3

Podemos aqui aplicar o teste da integral. Para isso, fazemos a substituição u = log x . Assim, teremos:

u = log x

Vamos mudar pra base e :

u = ln x ln 10

d u = d x x ln 10

Em que esse ln 10 aparece justamente porque estamos trabalhando com o log na base 10 e não base e , ok?

Dessa forma, vamos ter:

2 + d x x ( log x ) 2 = ln 10 l o g 2 + d u u 2 = - ln 10 1 u l o g 2 +

Passo 4

Sendo justamente:

- ln 10 1 u log 2 + = l i m b - ln 10 1 b - 1 log 2 = ln 10 log 2

Como a integral converge, a série do problema converge!

Resposta

Converge

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