Exercícios Resolvidos de Teste da integral

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 667, exercício 4

Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

n = 1 1 n 4

Passo 1

Temos

a n = 1 n 4

Logo, podemos definir

f x = 1 x 4

Assim, temos f n = a n .

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Passo 2

Agora devemos verificar se a função é decrescente!

f ' x = - 1 4 x x 4

Observe que se x > 0 ,   a raiz será positiva, então a derivada será negativa, ou seja, a função é decrescente!

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

1 b 1 x 4 d x = 1 b x - 1 / 4   d x =

= 4 3 x 3 / 4 1 b =

= 4 ( b 3 / 4 - 1 ) 3

Passo 4

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

1 1 x 4 d x = lim b 1 b 1 x 4 d x = lim b 4 ( b 3 / 4 - 1 ) 3 =

Note que lim b b 3 / 4 =

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série do problema diverge.

Resposta

A série diverge.

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