1. Considere um condutor cilíndrico de raio R , comprimento L e condutividade σ atravessado por uma corrente estacionária I . Lembrando que a densidade de corrente J → pode ser escrita como J → = σ E → , determine:

(a) O campo elétrico e magnético dentro e fora do cilindro.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o campo magnético e elétrico dentro e fora de um cilindro condutor de raio R , comprimento L e condutividade σ atravessado por uma corrente estacionária I .

E agora? Como fazemos isso? 🤔

Se a corrente é estacionaria, ela não gera acúmulo de cargas no interior do condutor. Então para calcular o seu campo elétrico, temos que obter a diferença de potencial gerado pelo condutor já que não foi dito que sua condutividade σ é infinita...

Já o campo magnético no exterior do condutor pode ser obtido a partir da lei de Biot-Savart dada por

B = μ 0 i 4 π ∫ d l × r - l r - l 3

Já no interior, temos que aplicar a lei de Ampere, onde o campo diminui linearmente conforme r diminui com relação a R .

Sacou? Bora continuar! 😉

Passo 2

Vamos desenhar a situação do problema...

Pela equação de Biot-Savart, podemos definir o campo magnético fora do condutor como

B r > R = μ 0 i 4 π ∫ d l × r - l r - l 3

No caso de um fio retilíneo como no nosso caso, podemos decorar que o resultado dessa integral complicadíssima resulta em simplesmente

∫ d l × r - l r - l 3 = sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 2

Substituindo no nosso campo magnético, temos

B r > R = μ 0 i 4 π sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 2

Analisando θ 1 , temos que pela lei dos senos

s e n θ 1 = C O H = L 2 L 2 2 + r 2

Já para θ 2 , temos

s e n θ 2 = C O H = - L 2 - L 2 2 + r 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Substituindo esses resultados no nosso problema...

B r > R = μ 0 i 4 π L 2 L 2 2 + r 2 - - L 2 - L 2 2 + r 2

B r > R = μ 0 i 4 π L 2 L 2 4 + r 2 - - L 2 L 2 4 + r 2

B r > R = μ 0 i 4 π L L 2 4 + r 2

Portanto...

B r > R = μ 0 i L 4 π L 2 4 + r 2 z ^   T

Agora, como nosso condutor conduz uma corrente estacionaria e uniforme, o campo magnético dentro dele reduz linearmente em relação a R segundo a lei de Ampere, ou seja...

B r < R = μ 0 i L 4 π L 2 4 + r 2 r R z ^

B r < R = �� 0 i L r 4 π R L 2 4 + r 2 z ^   T

Bacana, não é? 😐

Passo 4

Com relação ao campo elétrico, sabemos que dentro de um condutor não há campo, então podemos afirmar que

E r < R = 0   N / C  

Já no lado de fora do condutor, o movimento de cargas gera um potencial elétrico nas extremidades do condutor já que ele possui uma condutividade σ ...

Pela lei de Ohm, podemos obter que

V = R i = 1 σ i

V = i σ

Assim, podemos relacionar o potencial com o campo elétrico a partir da equação

V = - ∫ E · d l

d l é dado pelo valor infinitesimal do comprimento L do condutor, ou seja

V = - ∫ - L 2 L 2 E · d l r ^

V = - E L 2 - - L 2 r ^

V = - E L r ^

Isolando E e substituindo V = i σ , vamos obter

i σ = - E L r ^

E r > R = - i σ L r ^   N / C  

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

B r > R = μ 0 i L 4 π L 2 4 + r 2 z ^   T

B r < R = μ 0 i L r 4 π R L 2 4 + r 2 z ^   T

E r < R = 0   N / C  

E r > R = - i σ L r ^   N / C

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