Uma corrente i percorre um fio muito longo. O fio está posicionado inicialmente de maneira vertical. Em certo ponto, realiza um loop circular de raio R   e retorna à mesma orientação vertical, como mostra a Figura 1. Embora extremamente próximos, não há contato entre os pontos inicial e final do loop.

Com relação ao ponto C marcado na figura, calcule, utilizando a lei de Biot-Savart explicitamente:

  1. O vetor campo magnético devido ao loop.
  2. o vetor campo magnético devido a cada uma das duas seções retas do fio
  3. Considere agora outra configuração, onde uma nova corrente i’ percorre um segundo fio também muito longo. Mais uma vez, o fio está posicionado inicialmente de maneira vertical e, em certo ponto, realiza um loop circular de raio R ’   =   3 R / 2 , retornado à mesma orientação vertical, como mostra a Figura 2. Embora extremamente próximos, não há contato entre os pontos inicial e final do loop.

    Em seguida, esse fio é colocado bem próximo (mais uma vez, sem contato) ao primeiro fio, como mostra a Figura 3. No sistema descrito pela Figura 3, existe um campo magnético constante B 0   ŷ   ( B 0   p o s i t i v o ) .

  4. Qual deve ser a relação entre as correntes i ' e i para que o torque resultante devido ao campo magnético sobre o conjunto de loops seja nulo?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Utilizando explicitamente a lei de Biot-Savart, a distância entre o elemento de corrente e o ponto de avaliação é constante e igual a R , e o ângulo entre o elemento de corrente e o vetor normal é π / 2 , então temos:

B → = μ 0 i 4 π ∫ d l → × r → r 2 = μ 0 i 4 π 1 R 2 ∫ d l → × r →    

O comprimento é 2 π R , pois queremos o comprimento de uma circunferência de raio R , pela regra da mão direita sabemos que esse vetor é na direção – z ^ , então o campo fica:

B → = μ 0 i 4 π 1 R 2 . 2 π R - z ^ = - μ 0 i 2 R z ^

Passo 2

Letra (b):

Agora a distância r não é mais constante, e podemos fazer um triângulo retângulo com a distância y e o raio R :

r = R 2 + y 2

Já o ângulo entre o elemento de corrente e o vetor normal é:

s e n θ = R r = R R 2 + y 2

Agora é só jogar isso na lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 i 4 π ∫ d l → × r → r 2 = - μ 0 i 4 π ∫ R y 2 + R 2 3 2 d y   z ^

E consultando uma tabela de integrais temos:

B → = - μ 0 i 4 π y y 2 + R 2 y = - ∞ ∞ z ^

B → = - μ 0 i 2 π R   z ^

Tranquilo? Vamos para o último item?

Passo 3

Letra (c):

Como nas seções retas a corrente e o campo magnético estão na mesma direção, a força resultante será nula. Logo, não haverá contribuições desses termos no torque.

A contribuição virá apenas das circunferências:

Da direita

τ → = i A → × B → = i A B - z ^ × y ^ = i π R 2 B 0 x ^

E da esquerda:

τ ' → = i ' A ' → × B → = i ' A ' B z ^ × y ^ = - i ' π R ' 2 B 0 x ^

E como o torque total deve ser nulo:

τ → + τ ' → = 0

i π R 2 B 0 x ^ + - i ' π R ' 2 B 0 x ^ = 0

i π R 2 B 0 = i ' π R ' 2 B 0

i ' = i R 2 R ' 2 = 4 i 9

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   B → = - μ 0 i 2 R z ^

b ) B → = - μ 0 i 2 π R   z ^

c ) i ' = 4 i 9

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